Toán

Giải Bài Tập Phương Trình Đường Tròn

Phương trình đường tròn mô tả mọi điểm nằm cách đều (bằng bán kính) một điểm cố định (tâm). Hầu hết bài tập trong sách giáo khoa hoặc cho tâm và bán kính rồi yêu cầu tìm phương trình, hoặc cho phương trình rồi yêu cầu xác định tâm, bán kính, hay xét xem một điểm có nằm trên đường tròn hay không.

Các chủ đề thường gặp

Dạng chính tắc

Đường tròn có tâm (h, k) và bán kính r có phương trình (x - h)² + (y - k)² = r². Khi tâm là gốc tọa độ (0, 0), phương trình rút gọn thành x² + y² = r².

Đọc ra tâm và bán kính

Với một phương trình đã ở dạng chính tắc, tâm là (h, k) — chú ý ĐỔI DẤU, vì công thức trừ đi h và k — còn bán kính là căn bậc hai của số ở vế phải.

Hoàn thành bình phương

Nếu phương trình được cho ở dạng khai triển (x² + y² + Dx + Ey + F = 0), hãy nhóm riêng các hạng tử chứa x và các hạng tử chứa y rồi hoàn thành bình phương cho từng nhóm để đưa về dạng chính tắc.

Kiểm tra một điểm có nằm trên đường tròn không

Thay tọa độ của điểm vào phương trình — nếu hai vế bằng nhau, điểm nằm đúng trên đường tròn; nếu vế trái nhỏ hơn r², điểm nằm bên trong; nếu lớn hơn, điểm nằm bên ngoài.

Tiếp tuyến và bán kính

Một đường thẳng tiếp xúc với đường tròn chỉ chạm vào nó tại đúng một điểm, và tại điểm đó tiếp tuyến luôn vuông góc với bán kính vẽ tới điểm ấy — tính vuông góc này chính là dữ kiện then chốt dùng để tìm phương trình tiếp tuyến.

Ví dụ có lời giải

Tìm phương trình đường tròn có tâm (0, 0) và đi qua điểm (3, 4).

Bán kính chính là khoảng cách từ tâm đến điểm đã cho nằm trên đường tròn.
Vì tâm là gốc tọa độ, hãy dùng công thức khoảng cách: r = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5.
Thay tâm (0, 0) và bán kính 5 vào dạng chính tắc (x - h)² + (y - k)² = r².
Ta được x² + y² = 25.

Đáp án: x² + y² = 25 (tâm tại gốc tọa độ, bán kính 5).

Nhận trợ giúp về Equation of a Circle

AI Solve Quiz thực hiện đúng quy trình xác định tâm - bán kính và hoàn thành bình phương như trên cho một bài toán phương trình đường tròn được chụp ảnh, trình bày mọi dòng trung gian thay vì nhảy thẳng tới phương trình cuối cùng.

Thêm vào Chrome — miễn phí Xem cách hoạt động

Câu hỏi thường gặp

Tại sao tâm lại được viết với dấu trừ trong công thức? ▼

Công thức (x - h)² + (y - k)² = r² xuất phát trực tiếp từ công thức khoảng cách giữa một điểm (x, y) và tâm (h, k). Vì vậy nếu phương trình có (x - 3)², hoành độ của tâm là +3 chứ không phải -3 — phương trình trừ đi tọa độ của tâm.

Làm sao biết phương trình có thực sự là đường tròn hay không? ▼

Sau khi hoàn thành bình phương, vế phải phải là một số dương thì phương trình mới biểu diễn một đường tròn thực sự. Nếu bằng 0, "đường tròn" thực chất chỉ là một điểm duy nhất; nếu âm, không tồn tại đường tròn thực nào.

Số ở vế phải của phương trình có phải là bán kính không? ▼

Không — đó là bán kính BÌNH PHƯƠNG. Một lỗi rất phổ biến là nhìn thấy (x - h)² + (y - k)² = 25 rồi ghi bán kính là 25 thay vì lấy căn bậc hai để được 5. Luôn lấy căn bậc hai của con số cuối đó trước khi nêu bán kính.

Phương trình đường tròn liên hệ thế nào với công thức khoảng cách? ▼

Phương trình đường tròn CHÍNH LÀ công thức khoảng cách, chỉ là được sắp xếp lại. Khoảng cách giữa một điểm bất kỳ (x, y) và tâm (h, k) là √((x-h)² + (y-k)²). Đặt khoảng cách đó bằng một bán kính cố định r rồi bình phương hai vế để bỏ căn sẽ cho ra đúng (x - h)² + (y - k)² = r² — theo định nghĩa, mọi điểm thỏa mãn phương trình này đều cách tâm đúng r đơn vị.

Môn học liên quan

Linear Equations Phương trình bậc nhất là phương trình mà ẩn số chỉ xuất hiện ở lũy thừa bậc một — không có bình phương, không có căn, không có ẩn số đứng riêng ở mẫu số. Bài tập trong sách giáo khoa thường trộn lẫn phân số, dấu ngoặc và ẩn số ở cả hai vế, và đó chính là nơi hầu hết các lỗi len lỏi vào dù phương pháp cơ bản không bao giờ thay đổi. Angle Relationships in Parallel Lines Khi một đường thẳng (cát tuyến) cắt hai đường thẳng song song, nó tạo ra tổng cộng tám góc, và bài tập hình học thường yêu cầu học sinh gọi tên và đếm những cặp góc cụ thể trong số đó — một nguồn gây nhầm lẫn thường xuyên vì nhiều tên gọi cặp góc nghe khá giống nhau. Graphing Quadratic Functions Hàm số bậc hai y = ax² + bx + c có đồ thị là một parabol, và hầu hết câu hỏi bài tập yêu cầu tìm những đặc điểm cụ thể của đường cong đó — đỉnh, trục đối xứng, hoặc bề lõm quay về hướng nào — chứ không phải vẽ đầy đủ từng điểm một. Verb Tense Exercises Bài điền vào chỗ trống về thì của động từ đưa ra một câu có động từ trong ngoặc và yêu cầu học sinh viết đúng dạng — lựa chọn đúng hầu như luôn đến từ một dấu hiệu thời gian ở nơi khác trong câu, chứ không phải từ việc học thuộc lòng động từ một cách tách biệt.

Trang này giải thích một dạng bài tập phổ biến nhằm phục vụ mục đích học tập. Hãy luôn tuân thủ quy định về liêm chính học thuật của trường bạn.