वृत्त के समीकरण की होमवर्क सहायता

वृत्त का समीकरण उन सभी बिंदुओं का वर्णन करता है जो एक स्थिर बिंदु (केंद्र) से समान दूरी (त्रिज्या) पर स्थित हैं। पाठ्यपुस्तक के अधिकांश प्रश्न या तो केंद्र और त्रिज्या देकर समीकरण पूछते हैं, या समीकरण देकर केंद्र, त्रिज्या, अथवा यह पूछते हैं कि कोई बिंदु वृत्त पर है या नहीं।

सामान्य टॉपिक

मानक रूप

केंद्र (h, k) और त्रिज्या r वाले वृत्त का समीकरण (x - h)² + (y - k)² = r² होता है। जब केंद्र मूल बिंदु (0, 0) हो, तो यह सरल होकर x² + y² = r² बन जाता है।

केंद्र और त्रिज्या पढ़ना

यदि समीकरण पहले से मानक रूप में है, तो केंद्र (h, k) होता है — चिह्न के पलटाव का ध्यान रखें, क्योंकि सूत्र में h और k घटाए जाते हैं — और त्रिज्या दाहिने पक्ष की संख्या का वर्गमूल होती है।

वर्ग पूरा करना

यदि समीकरण विस्तारित रूप (x² + y² + Dx + Ey + F = 0) में दिया गया है, तो x-पदों और y-पदों को अलग-अलग समूहित करें और प्रत्येक पर वर्ग पूरा करके उसे वापस मानक रूप में बदलें।

यह जाँचना कि बिंदु वृत्त पर है या नहीं

बिंदु के निर्देशांक समीकरण में रखें — यदि दोनों पक्ष बराबर हैं, तो बिंदु ठीक वृत्त पर है; यदि बायाँ पक्ष r² से कम है, तो बिंदु अंदर है; यदि अधिक है, तो बिंदु बाहर है।

स्पर्श रेखाएँ और त्रिज्या

वृत्त की स्पर्श रेखा उसे ठीक एक ही बिंदु पर छूती है, और उस बिंदु पर स्पर्श रेखा हमेशा वहाँ खींची गई त्रिज्या के लंबवत होती है — यही लंबवतता वह मुख्य तथ्य है जिससे स्पर्श रेखा का समीकरण निकाला जाता है।

हल किया गया उदाहरण

उस वृत्त का समीकरण ज्ञात करें जिसका केंद्र (0, 0) है और जो बिंदु (3, 4) से होकर गुज़रता है।

त्रिज्या केंद्र से वृत्त पर दिए गए बिंदु तक की दूरी है।
चूँकि केंद्र मूल बिंदु है, दूरी सूत्र का उपयोग करें: r = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5।
केंद्र (0, 0) और त्रिज्या 5 को मानक रूप (x - h)² + (y - k)² = r² में रखें।
इससे x² + y² = 25 मिलता है।

उत्तर: x² + y² = 25 (केंद्र मूल बिंदु पर, त्रिज्या 5)।

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ASQ AI फ़ोटो खींचे गए वृत्त-समीकरण प्रश्न के लिए ऊपर दिखाई गई वही केंद्र-त्रिज्या पहचान और वर्ग-पूरा-करने की प्रक्रिया अपनाता है, और सीधे अंतिम समीकरण पर कूदने के बजाय हर बीच की पंक्ति दिखाता है।

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अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

सूत्र में केंद्र ऋण चिह्न के साथ क्यों लिखा जाता है? ▼

सूत्र (x - h)² + (y - k)² = r² सीधे बिंदु (x, y) और केंद्र (h, k) के बीच के दूरी सूत्र से आता है। इसलिए यदि समीकरण में (x - 3)² दिखता है, तो केंद्र का x-निर्देशांक +3 है, -3 नहीं — समीकरण केंद्र के निर्देशांक को घटाता है।

मुझे कैसे पता चलेगा कि समीकरण वाकई वृत्त का है? ▼

वर्ग पूरा करने के बाद, समीकरण के वास्तविक वृत्त होने के लिए दाहिना पक्ष धनात्मक संख्या होना चाहिए। यदि वह शून्य हो, तो "वृत्त" असल में केवल एक बिंदु है; यदि ऋणात्मक हो, तो कोई वास्तविक वृत्त अस्तित्व में नहीं है।

क्या समीकरण के दाहिने पक्ष की संख्या ही त्रिज्या है? ▼

नहीं — वह त्रिज्या का वर्ग है। बहुत आम गलती यह है कि (x - h)² + (y - k)² = 25 पढ़कर त्रिज्या 25 लिख दी जाती है, जबकि वर्गमूल लेकर 5 मिलना चाहिए। त्रिज्या बताने से पहले हमेशा उस अंतिम संख्या का वर्गमूल लें।

वृत्त के समीकरण और दूरी सूत्र में क्या संबंध है? ▼

वृत्त का समीकरण दूरी सूत्र ही है, बस पुनर्व्यवस्थित रूप में। किसी बिंदु (x, y) और केंद्र (h, k) के बीच की दूरी √((x-h)² + (y-k)²) होती है। उस दूरी को स्थिर त्रिज्या r के बराबर रखकर और वर्गमूल हटाने के लिए दोनों पक्षों का वर्ग करके ठीक (x - h)² + (y - k)² = r² मिलता है — इस समीकरण को संतुष्ट करने वाला हर बिंदु परिभाषा के अनुसार केंद्र से ठीक r इकाई दूर होता है।

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यह पृष्ठ अध्ययन के उद्देश्य से एक सामान्य होमवर्क पैटर्न समझाता है। हमेशा अपने स्कूल की शैक्षणिक ईमानदारी नीति का पालन करें।