کمک به تکلیف معادله دایره

Q: رابطه معادله دایره با فرمول فاصله چیست؟

معادله دایره خودِ فرمول فاصله است، فقط بازآراییشده. فاصله هر نقطه (x, y) تا مرکز (h, k) برابر است با √((x-h)² + (y-k)²). با برابر قرار دادن این فاصله با شعاع ثابت r و به توان دو رساندن هر دو طرف برای حذف رادیکال، دقیقاً به (x - h)² + (y - k)² = r² میرسیم — هر نقطهای که این معادله را برآورده کند، طبق تعریف دقیقاً به اندازه r واحد از مرکز فاصله دارد.

معادله دایره همه نقاطی را توصیف می‌کند که فاصله‌ای برابر (شعاع) از یک نقطه ثابت (مرکز) دارند. بیشتر مسائل کتاب درسی یا مرکز و شعاع را می‌دهند و معادله را می‌خواهند، یا معادله را می‌دهند و می‌خواهند مرکز، شعاع، یا اینکه آیا نقطه‌ای روی دایره قرار دارد را مشخص کنید.

موضوعات رایج

شکل استاندارد

دایره‌ای با مرکز (h, k) و شعاع r معادله (x - h)² + (y - k)² = r² دارد. وقتی مرکز مبدأ (0, 0) باشد، این رابطه به x² + y² = r² ساده می‌شود.

خواندن مرکز و شعاع از روی معادله

اگر معادله از پیش در شکل استاندارد باشد، مرکز (h, k) است — به وارونگی علامت توجه کنید، چون فرمول h و k را کم می‌کند — و شعاع، جذر عددی است که در سمت راست معادله قرار دارد.

مربع کامل کردن

اگر معادله به شکل بازشده (x² + y² + Dx + Ey + F = 0) داده شده باشد، جمله‌های x و جمله‌های y را جداگانه گروه‌بندی کنید و روی هر گروه مربع کامل کنید تا معادله به شکل استاندارد بازگردد.

آزمودن اینکه آیا نقطه‌ای روی دایره است

مختصات نقطه را در معادله جایگذاری کنید — اگر دو طرف برابر شدند، نقطه دقیقاً روی دایره قرار دارد؛ اگر سمت چپ کمتر از r² شد، نقطه درون دایره است؛ و اگر بیشتر شد، نقطه بیرون دایره است.

خط مماس و شعاع

خط مماس بر دایره دقیقاً در یک نقطه با آن تماس دارد، و در آن نقطه خط مماس همواره بر شعاع رسم‌شده به آن نقطه عمود است — همین عمود بودن، نکته کلیدی برای یافتن معادله خط مماس است.

مثال حل‌شده

معادله دایره‌ای به مرکز (0, 0) را پیدا کنید که از نقطه (3, 4) می‌گذرد.

شعاع همان فاصله مرکز تا نقطه داده‌شده روی دایره است.
چون مرکز مبدأ است، از فرمول فاصله استفاده کنید: r = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5.
مرکز (0, 0) و شعاع 5 را در شکل استاندارد (x - h)² + (y - k)² = r² جایگذاری کنید.
نتیجه می‌شود x² + y² = 25.

پاسخ: x² + y² = 25 (مرکز در مبدأ، شعاع 5).

دریافت کمک برای Equation of a Circle

AI Solve Quiz برای یک مسئله عکس‌گرفته‌شده معادله دایره، همان فرایند تشخیص مرکز و شعاع و مربع کامل کردن را که در بالا نشان داده شد طی می‌کند و تک‌تک خطوط میانی را نمایش می‌دهد، نه اینکه مستقیم به معادله نهایی بپرد.

افزودن به Chrome — رایگان است ببینید چطور کار می‌کند

سؤالات متداول

چرا مرکز در فرمول با علامت منفی نوشته می‌شود؟ ▼

فرمول (x - h)² + (y - k)² = r² مستقیماً از فرمول فاصله بین یک نقطه (x, y) و مرکز (h, k) به دست می‌آید. پس اگر معادله (x - 3)² را نشان دهد، طول (مختصه x) مرکز برابر 3+ است، نه 3- — معادله مختصات مرکز را کم می‌کند.

از کجا بفهمم که معادله اصلاً یک دایره است؟ ▼

پس از مربع کامل کردن، سمت راست معادله باید عددی مثبت باشد تا معادله نماینده یک دایره واقعی باشد. اگر برابر صفر شود، آن «دایره» در واقع فقط یک نقطه است؛ و اگر منفی باشد، هیچ دایره حقیقی وجود ندارد.

آیا عدد سمت راست معادله همان شعاع است؟ ▼

نه — آن عدد مجذور شعاع است. یک اشتباه بسیار رایج این است که با دیدن (x - h)² + (y - k)² = 25، شعاع را 25 بنویسند به‌جای آنکه جذر بگیرند و به 5 برسند. همیشه پیش از اعلام شعاع، از آن عدد نهایی جذر بگیرید.

رابطه معادله دایره با فرمول فاصله چیست؟ ▼

معادله دایره خودِ فرمول فاصله است، فقط بازآرایی‌شده. فاصله هر نقطه (x, y) تا مرکز (h, k) برابر است با √((x-h)² + (y-k)²). با برابر قرار دادن این فاصله با شعاع ثابت r و به توان دو رساندن هر دو طرف برای حذف رادیکال، دقیقاً به (x - h)² + (y - k)² = r² می‌رسیم — هر نقطه‌ای که این معادله را برآورده کند، طبق تعریف دقیقاً به اندازه r واحد از مرکز فاصله دارد.

درس‌های مرتبط

Linear Equations معادله خطی هر معادله‌ای است که در آن متغیر فقط با توان اول ظاهر می‌شود — بدون توان دوم، بدون رادیکال، و بدون متغیری که به‌تنهایی در مخرج قرار گرفته باشد. تکالیف کتاب درسی معمولاً کسرها، پرانتزها و متغیرهای دو طرف را با هم ترکیب می‌کنند، و همین‌جاست که بیشتر اشتباهات رخ می‌دهد، هرچند روش زیربنایی هرگز تغییر نمی‌کند. Angle Relationships in Parallel Lines وقتی یک خط راست (مورّب یا قاطع) دو خط موازی را قطع می‌کند، در مجموع هشت زاویه پدید می‌آید، و تکالیف هندسه معمولاً از دانش‌آموز می‌خواهند جفت‌های خاصی را در میان آن‌ها نام‌گذاری و شمارش کند — منبعی همیشگی برای سردرگمی، چون نام چند جفت زاویه شبیه هم به نظر می‌رسد. Graphing Quadratic Functions تابع درجه دوم y = ax² + bx + c به شکل یک سهمی رسم می‌شود، و بیشتر سؤالات تکلیف به‌جای رسم نقطه‌به‌نقطه کامل، ویژگی‌های مشخصی از این منحنی را می‌خواهند — رأس آن، محور تقارنش، یا اینکه به کدام سو باز می‌شود. Verb Tense Exercises تمرین‌های جای‌خالی زمان فعل، جمله‌ای با یک فعل داخل پرانتز می‌دهند و از دانش‌آموز می‌خواهند شکل درست آن را بنویسد — انتخاب درست تقریباً همیشه از یک سرنخ زمانی در جای دیگر همان جمله می‌آید، نه از حفظ کردن فعل به‌صورت مجزا.

این صفحه یک الگوی رایج تکلیف را برای اهداف مطالعاتی توضیح می‌دهد. همیشه از سیاست صداقت علمی مدرسه خود پیروی کنید.