원의 방정식 숙제 도움

원의 방정식은 한 고정점(중심)에서 같은 거리(반지름)만큼 떨어진 모든 점을 나타냅니다. 교과서 문제는 대개 중심과 반지름을 주고 방정식을 묻거나, 방정식을 주고 중심·반지름을 찾게 하거나 어떤 점이 원 위에 있는지 판별하게 합니다.

자주 나오는 주제

표준형

중심이 (h, k)이고 반지름이 r인 원의 방정식은 (x - h)² + (y - k)² = r²입니다. 중심이 원점 (0, 0)이면 x² + y² = r²으로 간단해집니다.

중심과 반지름 읽어내기

이미 표준형으로 주어진 방정식에서 중심은 (h, k)입니다 — 공식이 h와 k를 빼는 형태이므로 부호가 뒤집힌다는 점에 주의하세요 — 그리고 반지름은 우변 숫자의 제곱근입니다.

완전제곱식 만들기

방정식이 전개된 형태(x² + y² + Dx + Ey + F = 0)로 주어졌다면 x항과 y항을 각각 묶은 뒤 각각 완전제곱식으로 만들어 표준형으로 되돌립니다.

점이 원 위에 있는지 판별하기

그 점의 좌표를 방정식에 대입해 보세요 — 양변이 같으면 점은 원 위에 정확히 있고, 좌변이 r²보다 작으면 원 안에, 크면 원 밖에 있습니다.

접선과 반지름

원의 접선은 원과 정확히 한 점에서 만나며, 그 접점에서 접선은 항상 그 점으로 그은 반지름과 수직입니다 — 접선의 방정식을 구할 때 쓰이는 핵심 성질이 바로 이 수직 관계입니다.

예제 풀이

중심이 (0, 0)이고 점 (3, 4)를 지나는 원의 방정식을 구하세요.

반지름은 중심에서 원 위에 주어진 점까지의 거리입니다.
중심이 원점이므로 거리 공식을 사용합니다: r = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5.
중심 (0, 0)과 반지름 5를 표준형 (x - h)² + (y - k)² = r²에 대입합니다.
그러면 x² + y² = 25가 됩니다.

정답: x² + y² = 25 (중심은 원점, 반지름은 5).

Equation of a Circle 도움 받기

AI Solve Quiz는 사진으로 찍은 원의 방정식 문제에 대해 위와 같은 중심·반지름 파악 및 완전제곱식 과정을 그대로 따라가며, 최종 방정식으로 건너뛰지 않고 중간 과정을 한 줄씩 보여줍니다.

Chrome에 추가 — 무료입니다 작동 방식 보기

자주 묻는 질문

공식에서 중심이 왜 빼기 부호로 쓰이나요? ▼

(x - h)² + (y - k)² = r² 공식은 점 (x, y)와 중심 (h, k) 사이의 거리 공식에서 그대로 나온 것입니다. 그래서 방정식에 (x - 3)²이 보이면 중심의 x좌표는 -3이 아니라 +3입니다 — 방정식은 중심 좌표를 빼는 형태이기 때문입니다.

그 방정식이 정말 원인지는 어떻게 알 수 있나요? ▼

완전제곱식으로 정리한 뒤 우변이 양수여야만 실제 원을 나타냅니다. 0이면 그 "원"은 사실 한 점일 뿐이고, 음수이면 실제로 존재하는 원이 없습니다.

방정식 우변의 숫자가 반지름인가요? ▼

아닙니다 — 그것은 반지름의 제곱입니다. (x - h)² + (y - k)² = 25를 보고 반지름을 5가 아닌 25로 쓰는 것이 아주 흔한 실수입니다. 반지름을 말하기 전에 항상 그 마지막 숫자의 제곱근을 구하세요.

원의 방정식과 거리 공식은 어떤 관계인가요? ▼

원의 방정식은 거리 공식을 변형한 것 그 자체입니다. 임의의 점 (x, y)와 중심 (h, k) 사이의 거리는 √((x-h)² + (y-k)²)입니다. 이 거리를 고정된 반지름 r과 같다고 놓고 양변을 제곱해 근호를 없애면 정확히 (x - h)² + (y - k)² = r²이 됩니다 — 이 방정식을 만족하는 모든 점은 정의상 중심에서 정확히 r만큼 떨어져 있습니다.

이 페이지는 학습 목적으로 자주 나오는 숙제 유형을 설명합니다. 학교의 학업 윤리 규정을 반드시 지켜 주세요.