Równanie okręgu — pomoc w pracy domowej

Równanie okręgu opisuje wszystkie punkty leżące w jednakowej odległości (promień) od jednego ustalonego punktu (środka). Większość zadań podręcznikowych albo podaje środek i promień i prosi o równanie, albo podaje równanie i prosi o wskazanie środka, promienia bądź o sprawdzenie, czy dany punkt leży na okręgu.

Częste zagadnienia

Postać kanoniczna

Okrąg o środku (h, k) i promieniu r ma równanie (x - h)² + (y - k)² = r². Gdy środkiem jest początek układu współrzędnych (0, 0), upraszcza się ono do x² + y² = r².

Odczytywanie środka i promienia

Gdy równanie jest już w postaci kanonicznej, środkiem jest (h, k) — zwróć uwagę na ZMIANĘ ZNAKU, ponieważ wzór odejmuje h oraz k — a promień to pierwiastek kwadratowy z liczby po prawej stronie.

Uzupełnianie do pełnego kwadratu

Jeśli równanie podano w postaci ogólnej (x² + y² + Dx + Ey + F = 0), pogrupuj osobno wyrazy z x i wyrazy z y, a następnie uzupełnij każdą grupę do pełnego kwadratu, aby wrócić do postaci kanonicznej.

Sprawdzanie, czy punkt leży na okręgu

Podstaw współrzędne punktu do równania — jeśli obie strony są równe, punkt leży dokładnie na okręgu; jeśli lewa strona jest mniejsza niż r², punkt leży wewnątrz; jeśli większa, punkt leży na zewnątrz.

Styczne a promień

Prosta styczna do okręgu dotyka go w dokładnie jednym punkcie, a w tym punkcie styczna jest zawsze prostopadła do poprowadzonego do niego promienia — ta prostopadłość to kluczowy fakt wykorzystywany przy wyznaczaniu równania stycznej.

Przykład z rozwiązaniem

Wyznacz równanie okręgu o środku (0, 0) przechodzącego przez punkt (3, 4).

Promień to odległość od środka do podanego punktu leżącego na okręgu.
Ponieważ środkiem jest początek układu współrzędnych, skorzystaj ze wzoru na odległość: r = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5.
Podstaw środek (0, 0) i promień 5 do postaci kanonicznej (x - h)² + (y - k)² = r².
Otrzymujesz x² + y² = 25.

Odpowiedź: x² + y² = 25 (środek w początku układu współrzędnych, promień 5).

Uzyskaj pomoc z tematem: Equation of a Circle

AI Solve Quiz przeprowadza przez ten sam proces odczytywania środka i promienia oraz uzupełniania do pełnego kwadratu, pokazany powyżej, dla sfotografowanego zadania z równaniem okręgu, prezentując każdą pośrednią linijkę, zamiast przeskakiwać od razu do końcowego równania.

Dodaj do Chrome — to bezpłatne Zobacz, jak to działa

Często zadawane pytania

Dlaczego we wzorze środek zapisuje się ze znakiem minus? ▼

Wzór (x - h)² + (y - k)² = r² wynika bezpośrednio ze wzoru na odległość między punktem (x, y) a środkiem (h, k). Dlatego jeśli w równaniu widzisz (x - 3)², współrzędna x środka wynosi +3, a nie -3 — równanie odejmuje współrzędną środka.

Skąd mam wiedzieć, czy dane równanie w ogóle opisuje okrąg? ▼

Po uzupełnieniu do pełnego kwadratu prawa strona musi być liczbą dodatnią, aby równanie przedstawiało rzeczywisty okrąg. Jeśli wynosi zero, "okrąg" jest w istocie pojedynczym punktem; jeśli jest ujemna, żaden rzeczywisty okrąg nie istnieje.

Czy liczba po prawej stronie równania to promień? ▼

Nie — to promień PODNIESIONY DO KWADRATU. Bardzo częstym błędem jest odczytanie (x - h)² + (y - k)² = 25 i zapisanie promienia jako 25 zamiast wyciągnięcia pierwiastka i otrzymania 5. Zawsze wyciągaj pierwiastek kwadratowy z tej końcowej liczby, zanim podasz promień.

Jaki jest związek między równaniem okręgu a wzorem na odległość? ▼

Równanie okręgu TO wzór na odległość, tylko przekształcony. Odległość między dowolnym punktem (x, y) a środkiem (h, k) wynosi √((x-h)² + (y-k)²). Przyrównanie tej odległości do ustalonego promienia r i podniesienie obu stron do kwadratu, aby usunąć pierwiastek, daje dokładnie (x - h)² + (y - k)² = r² — każdy punkt spełniający to równanie jest z definicji oddalony od środka dokładnie o r jednostek.

Powiązane przedmioty

Linear Equations Równanie liniowe to każde równanie, w którym niewiadoma występuje wyłącznie w pierwszej potędze — bez kwadratów, bez pierwiastków, bez zmiennej samodzielnie stojącej w mianowniku. Zadania domowe z podręcznika zwykle mieszają ułamki, nawiasy i niewiadome po obu stronach, i to właśnie tam wkradają się najczęstsze błędy, mimo że sama metoda pozostaje niezmienna. Angle Relationships in Parallel Lines Gdy prosta (poprzeczna) przecina dwie proste równoległe, powstaje w sumie osiem kątów, a zadania domowe z geometrii zwykle proszą uczniów o nazwanie i policzenie konkretnych par spośród nich — co jest częstym źródłem pomyłek, ponieważ kilka nazw par kątów brzmi podobnie. Graphing Quadratic Functions Funkcja kwadratowa y = ax² + bx + c ma wykres w postaci paraboli, a większość zadań domowych pyta o konkretne cechy tej krzywej — jej wierzchołek, oś symetrii albo kierunek ramion — zamiast o pełne wykreślenie punkt po punkcie. Verb Tense Exercises Ćwiczenia z czasów gramatycznych z lukami podają zdanie z czasownikiem w nawiasie i proszą ucznia o wpisanie poprawnej formy — właściwy wybór prawie zawsze wynika ze wskazówki czasowej znajdującej się w innym miejscu zdania, a nie z zapamiętania czasownika w oderwaniu od kontekstu.

Ta strona wyjaśnia typowy schemat zadania domowego w celach edukacyjnych. Zawsze przestrzegaj zasad uczciwości akademickiej obowiązujących w Twojej szkole.