Ajuda com a Lição de Casa de Equação da Circunferência

A equação da circunferência descreve todos os pontos que ficam a uma mesma distância (o raio) de um ponto fixo (o centro). A maioria dos problemas de livro didático ou fornece o centro e o raio e pede a equação, ou fornece a equação e pede para identificar o centro, o raio ou se um ponto pertence à circunferência.

Tópicos comuns

Forma padrão

Uma circunferência de centro (h, k) e raio r tem equação (x - h)² + (y - k)² = r². Quando o centro é a origem (0, 0), isso se simplifica para x² + y² = r².

Ler o centro e o raio diretamente

Dada uma equação já na forma padrão, o centro é (h, k) — atenção à INVERSÃO DE SINAL, já que a fórmula subtrai h e k — e o raio é a raiz quadrada do número do lado direito.

Completar quadrados

Se a equação for dada na forma expandida (x² + y² + Dx + Ey + F = 0), agrupe separadamente os termos em x e em y e complete o quadrado em cada grupo para voltar à forma padrão.

Testar se um ponto pertence à circunferência

Substitua as coordenadas do ponto na equação — se os dois lados forem iguais, o ponto está exatamente sobre a circunferência; se o lado esquerdo for menor que r², o ponto está dentro; se for maior, o ponto está fora.

Retas tangentes e o raio

Uma reta tangente a uma circunferência a toca em exatamente um ponto, e nesse ponto a tangente é sempre perpendicular ao raio traçado até ele — essa perpendicularidade é o fato-chave usado para encontrar a equação de uma reta tangente.

Exemplo resolvido

Encontre a equação da circunferência de centro (0, 0) que passa pelo ponto (3, 4).

O raio é a distância do centro até o ponto dado sobre a circunferência.
Como o centro é a origem, use a fórmula da distância: r = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5.
Substitua o centro (0, 0) e o raio 5 na forma padrão (x - h)² + (y - k)² = r².
Isso dá x² + y² = 25.

Resposta: x² + y² = 25 (centro na origem, raio 5).

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O AI Solve Quiz percorre o mesmo processo de identificação de centro e raio e de completar quadrados mostrado acima para um problema de equação da circunferência fotografado, exibindo cada linha intermediária em vez de saltar direto para a equação final.

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Perguntas frequentes

Por que o centro aparece com sinal de menos na fórmula? ▼

A fórmula (x - h)² + (y - k)² = r² vem diretamente da fórmula da distância entre um ponto (x, y) e o centro (h, k). Então, se a equação mostra (x - 3)², a coordenada x do centro é +3, e não -3 — a equação subtrai a coordenada do centro.

Como sei se a equação é realmente de uma circunferência? ▼

Depois de completar os quadrados, o lado direito precisa ser um número positivo para que a equação represente uma circunferência real. Se for igual a zero, a "circunferência" é na verdade apenas um único ponto; se for negativo, não existe circunferência real.

O número do lado direito da equação é o raio? ▼

Não — é o raio ao QUADRADO. Um erro muito comum é ler (x - h)² + (y - k)² = 25 e escrever que o raio é 25 em vez de extrair a raiz quadrada e obter 5. Sempre tire a raiz quadrada desse número final antes de declarar o raio.

Qual é a relação entre a equação da circunferência e a fórmula da distância? ▼

A equação da circunferência É a fórmula da distância, apenas reorganizada. A distância entre um ponto qualquer (x, y) e o centro (h, k) é √((x-h)² + (y-k)²). Igualar essa distância a um raio fixo r e elevar os dois lados ao quadrado para eliminar a raiz produz exatamente (x - h)² + (y - k)² = r² — todo ponto que satisfaz essa equação está, por definição, exatamente a r unidades do centro.

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