円の方程式の宿題ヘルプ

円の方程式は、1つの定点（中心）から等しい距離（半径）にあるすべての点を表します。教科書の問題の多くは、中心と半径を与えて方程式を求めさせるか、方程式を与えて中心・半径、またはある点が円上にあるかどうかを問うものです。

よく出るトピック

標準形

中心が (h, k)、半径が r の円の方程式は (x - h)² + (y - k)² = r² です。中心が原点 (0, 0) のときは x² + y² = r² と簡単になります。

中心と半径を読み取る

すでに標準形になっている方程式では、中心は (h, k) です — 公式が h と k を引く形なので符号が反転する点に注意してください — そして半径は右辺の数の平方根です。

平方完成

方程式が展開形（x² + y² + Dx + Ey + F = 0）で与えられている場合は、x の項と y の項をそれぞれまとめ、各々で平方完成をして標準形に戻します。

点が円上にあるかを調べる

点の座標を方程式に代入します — 両辺が等しければその点はちょうど円上にあり、左辺が r² より小さければ内側、大きければ外側にあります。

接線と半径

円の接線は円とちょうど1点で接し、その接点において接線は常にその点へ引いた半径と垂直になります — この垂直であるという事実が、接線の方程式を求めるときの鍵となります。

解答例

中心が (0, 0) で、点 (3, 4) を通る円の方程式を求めなさい。

半径は、中心から円上の与えられた点までの距離です。
中心が原点なので距離の公式を使います：r = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5。
中心 (0, 0) と半径5を標準形 (x - h)² + (y - k)² = r² に代入します。
その結果、x² + y² = 25 となります。

答え: x² + y² = 25（中心は原点、半径は5）。

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よくある質問

公式ではなぜ中心にマイナス符号がつくのですか。 ▼

公式 (x - h)² + (y - k)² = r² は、点 (x, y) と中心 (h, k) の距離の公式から直接導かれます。したがって方程式に (x - 3)² とあれば、中心の x 座標は -3 ではなく +3 です — 方程式は中心の座標を引く形になっています。

その方程式が本当に円かどうかは、どう判断しますか。 ▼

平方完成をしたあと、方程式が実際の円を表すためには右辺が正の数でなければなりません。0 になる場合、その「円」は実は1点にすぎず、負になる場合は実在する円は存在しません。

方程式の右辺の数が半径ですか。 ▼

いいえ — それは半径の2乗です。(x - h)² + (y - k)² = 25 を見て、平方根をとって5とせずに半径を25と書いてしまうのは非常によくある間違いです。半径を答える前に、必ずその最後の数の平方根をとってください。

円の方程式と距離の公式にはどんな関係がありますか。 ▼

円の方程式は距離の公式そのものを変形しただけのものです。任意の点 (x, y) と中心 (h, k) の距離は √((x-h)² + (y-k)²) です。この距離を一定の半径 r と等しいと置き、両辺を2乗して根号を外すと、ちょうど (x - h)² + (y - k)² = r² が得られます — この方程式を満たすすべての点は、定義上ちょうど中心から r だけ離れた点なのです。

このページは学習目的で、よくある宿題のパターンを解説するものです。必ず学校の学術倫理規定に従ってください。