Ayuda con las tareas de la ecuación de la circunferencia

La ecuación de una circunferencia describe todos los puntos que se encuentran a la misma distancia (el radio) de un punto fijo (el centro). La mayoría de los problemas del libro de texto dan el centro y el radio y piden la ecuación, o dan la ecuación y piden identificar el centro, el radio o si un punto pertenece a la circunferencia.

Temas comunes

Forma estándar

Una circunferencia con centro (h, k) y radio r tiene la ecuación (x - h)² + (y - k)² = r². Cuando el centro es el origen (0, 0), esto se simplifica a x² + y² = r².

Leer el centro y el radio

Dada una ecuación ya en forma estándar, el centro es (h, k) — atención al CAMBIO DE SIGNO, ya que la fórmula resta h y k — y el radio es la raíz cuadrada del número del lado derecho.

Completar el cuadrado

Si la ecuación viene en forma desarrollada (x² + y² + Dx + Ey + F = 0), agrupa por separado los términos en x y los términos en y y completa el cuadrado en cada grupo para volver a la forma estándar.

Comprobar si un punto pertenece a la circunferencia

Sustituye las coordenadas del punto en la ecuación — si ambos lados son iguales, el punto está exactamente sobre la circunferencia; si el lado izquierdo es menor que r², el punto está dentro; si es mayor, el punto está fuera.

Rectas tangentes y el radio

Una recta tangente a una circunferencia la toca en exactamente un punto, y en ese punto la tangente siempre es perpendicular al radio trazado hasta él — esa perpendicularidad es el dato clave que se usa para hallar la ecuación de una tangente.

Ejemplo resuelto

Halla la ecuación de una circunferencia con centro (0, 0) que pasa por el punto (3, 4).

El radio es la distancia del centro al punto dado de la circunferencia.
Como el centro es el origen, usa la fórmula de la distancia: r = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5.
Sustituye el centro (0, 0) y el radio 5 en la forma estándar (x - h)² + (y - k)² = r².
Esto da x² + y² = 25.

Respuesta: x² + y² = 25 (centro en el origen, radio 5).

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AI Solve Quiz recorre el mismo proceso de identificación del centro y el radio y de completar el cuadrado mostrado arriba para un problema de ecuación de la circunferencia fotografiado, mostrando cada línea intermedia en lugar de saltar directamente a la ecuación final.

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Preguntas frecuentes

¿Por qué el centro aparece con un signo menos en la fórmula? ▼

La fórmula (x - h)² + (y - k)² = r² proviene directamente de la fórmula de la distancia entre un punto (x, y) y el centro (h, k). Así que si la ecuación muestra (x - 3)², la coordenada x del centro es +3, no -3 — la ecuación resta la coordenada del centro.

¿Cómo sé si la ecuación es realmente una circunferencia? ▼

Después de completar el cuadrado, el lado derecho debe ser un número positivo para que la ecuación represente una circunferencia real. Si es igual a cero, la "circunferencia" en realidad es un único punto; si es negativo, no existe ninguna circunferencia real.

¿El número del lado derecho de la ecuación es el radio? ▼

No — es el radio AL CUADRADO. Un error muy frecuente es leer (x - h)² + (y - k)² = 25 y escribir que el radio es 25 en lugar de sacar la raíz cuadrada para obtener 5. Saca siempre la raíz cuadrada de ese número final antes de dar el radio.

¿Qué relación hay entre la ecuación de una circunferencia y la fórmula de la distancia? ▼

La ecuación de la circunferencia ES la fórmula de la distancia, solo que reorganizada. La distancia entre cualquier punto (x, y) y el centro (h, k) es √((x-h)² + (y-k)²). Igualar esa distancia a un radio fijo r y elevar ambos lados al cuadrado para quitar la raíz produce exactamente (x - h)² + (y - k)² = r² — todo punto que satisface esta ecuación está, por definición, exactamente a r unidades del centro.

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