圓的方程式作業輔導

圓的方程式描述所有與某一定點（圓心）距離相等（等於半徑）的點。課本題目通常不是給圓心與半徑要求寫出方程式，就是給方程式要求判斷圓心、半徑，或某一點是否在圓上。

常見主題

標準式

圓心為 (h, k)、半徑為 r 的圓，其方程式為 (x - h)² + (y - k)² = r²。當圓心在原點 (0, 0) 時，可簡化為 x² + y² = r²。

直接讀出圓心與半徑

若方程式已經是標準式，圓心就是 (h, k)——注意「正負號會相反」，因為公式中是減去 h 與 k——而半徑則是等號右邊那個數的平方根。

配方法

如果方程式是展開後的形式（x² + y² + Dx + Ey + F = 0），就把含 x 的項與含 y 的項分別分組，各自配方，轉回標準式。

判斷某一點是否在圓上

把該點的座標代入方程式——若兩邊相等，該點恰好在圓上；若左邊小於 r²，該點在圓內；若大於，則在圓外。

切線與半徑

與圓相切的直線恰好只與圓交於一點，而在該點上切線一定與連到該點的半徑互相垂直——這個垂直關係正是求切線方程式時的關鍵事實。

例題解說

求圓心為 (0, 0) 且通過點 (3, 4) 的圓方程式。

半徑就是圓心到圓上這個已知點的距離。
由於圓心在原點，使用距離公式：r = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5。
把圓心 (0, 0) 與半徑 5 代入標準式 (x - h)² + (y - k)² = r²。
得到 x² + y² = 25。

答案: x² + y² = 25（圓心在原點，半徑為 5）。

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常見問題

為什麼公式裡圓心前面是減號？ ▼

公式 (x - h)² + (y - k)² = r² 直接來自點 (x, y) 與圓心 (h, k) 之間的距離公式。因此如果方程式中出現 (x - 3)²，圓心的 x 座標是 +3，而不是 -3——方程式中是「減去」圓心座標。

我怎麼知道這個方程式真的是一個圓？ ▼

配方完成之後，等號右邊必須是正數，方程式才代表一個真正的圓。如果等於零，這個「圓」其實只是一個點；如果是負數，就不存在實際的圓。

方程式右邊那個數就是半徑嗎？ ▼

不是——那是半徑的「平方」。非常常見的錯誤是看到 (x - h)² + (y - k)² = 25 就把半徑寫成 25，而不是開平方得到 5。在寫出半徑之前，一定要先對最後那個數開平方根。

圓的方程式和距離公式之間有什麼關係？ ▼

圓的方程式「就是」距離公式，只是換個寫法。任一點 (x, y) 到圓心 (h, k) 的距離是 √((x-h)² + (y-k)²)。把這個距離設為固定的半徑 r，再把兩邊平方以去掉根號，得到的正是 (x - h)² + (y - k)² = r²——依定義，所有滿足這個方程式的點，距離圓心都恰好是 r。