二次函數繪圖作業輔導

二次函數 y = ax² + bx + c 的圖形是一條拋物線，而多數作業題目要求的是這條曲線的特定性質——頂點、對稱軸，或開口朝哪個方向——而不是逐點描繪完整圖形。

常見主題

如果 x² 前面的係數 a 為正，拋物線開口朝上，並有一個最小值點；如果 a 為負，開口朝下，並有一個最大值點。

把函數寫成 y = a(x - h)² + k，頂點就直接位於 (h, k)——同樣要注意 h 的正負號會相反，這一點和圓方程式的圓心完全一樣。

鉛直線 x = h 通過頂點，拋物線以這條線為對稱軸左右互為鏡像——這在已知一個點、要求另一個點時很有用。

當函數以 y = ax² + bx + c 的形式給出時，頂點的 x 座標為 -b / (2a)；再把這個值代回函數中，就能得到 y 座標。

x 截距是 y = 0 時的點，可以用因式分解或二次公式 x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a) 求得。拋物線會在這些點與 x 軸相交；若只有一個根則與 x 軸相切；若判別式 b² - 4ac 為負，則永遠不會與 x 軸相交。

對函數 y = 2x² - 8x + 3，求頂點，並說明它是最小值點還是最大值點。

答案: 頂點為 (2, -5)，因為 a = 2 > 0，所以它是最小值點。

AI Solve Quiz 會將上述頂點公式套用到拍照上傳的二次函數題目，並解釋拋物線為什麼會朝那個方向開口，而不是只回傳一組座標。

為什麼頂點式的公式是減 h，而不是加 h？ ▼

y = a(x - h)² + k 的設計，是讓平方項恰好在 x = h 時等於零——正是這個歸零的位置使 (h, k) 成為頂點。如果公式寫成 (x + h)，頂點的 x 座標其實會是 -h，所以務必仔細看清楚 x 前面的符號。

作業要畫拋物線時，需要把每個點都描出來嗎？ ▼

通常不需要——多數作業只要求頂點、對稱軸與開口方向，或許再加上 y 截距（令 x = 0 求得）。有這四項性質，就足以畫出準確的拋物線草圖，不必列出完整的數值表。

還沒解出根之前，判別式能告訴我什麼？ ▼

判別式 b² - 4ac（二次公式中根號底下的部分）不必真的解出來，就能告訴你有幾個實數 x 截距：為正代表有兩個相異實根，為零代表恰有一個重根（頂點與 x 軸相切），為負則代表沒有實根——拋物線永遠不會與 x 軸相交。

頂點和 x 截距之間有什麼關係？ ▼

頂點的 x 座標一定恰好位在兩個 x 截距的正中間，因為拋物線對於它的對稱軸左右對稱。如果作業題目同時給出兩個 x 截距，取它們的平均值就是求頂點 x 座標的快速捷徑，完全不需要用到 -b/(2a) 公式。