کمک به تکلیف رسم نمودار توابع درجه دوم

تابع درجه دوم y = ax² + bx + c به شکل یک سهمی رسم می‌شود، و بیشتر سؤالات تکلیف به‌جای رسم نقطه‌به‌نقطه کامل، ویژگی‌های مشخصی از این منحنی را می‌خواهند — رأس آن، محور تقارنش، یا اینکه به کدام سو باز می‌شود.

موضوعات رایج

جهت بازشدگی

اگر ضریب a (پیش از x²) مثبت باشد، سهمی رو به بالا باز می‌شود و یک نقطه کمینه دارد؛ اگر a منفی باشد، رو به پایین باز می‌شود و یک نقطه بیشینه دارد.

شکل رأسی

نوشتن تابع به صورت y = a(x - h)² + k رأس را مستقیماً در نقطه (h, k) قرار می‌دهد — باز هم به وارونگی علامت روی h توجه کنید، دقیقاً مانند مرکز در معادله دایره.

محور تقارن

خط عمودی x = h از رأس می‌گذرد و سهمی نسبت به این خط تصویر آینه‌ای خودش است — که برای یافتن نقطه دوم پس از معلوم شدن یک نقطه کاربرد دارد.

یافتن رأس از شکل استاندارد

وقتی تابع به صورت y = ax² + bx + c داده شده باشد، طول (مختصه x) رأس برابر است با -b / (2a)؛ آن مقدار را دوباره در تابع جایگذاری کنید تا عرض (مختصه y) به دست آید.

یافتن عرض از مبدأ‌های x (ریشه‌ها)

محل تقاطع با محور x نقاطی است که در آن‌ها y = 0 است و یا با تجزیه به دست می‌آید یا با فرمول درجه دوم x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a). سهمی در این نقاط از محور x می‌گذرد، اگر دقیقاً یک ریشه وجود داشته باشد فقط با آن مماس می‌شود، و اگر مبیّن b² - 4ac منفی باشد اصلاً از آن عبور نمی‌کند.

مثال حل‌شده

برای تابع y = 2x² - 8x + 3، رأس را پیدا کنید و مشخص کنید که کمینه است یا بیشینه.

از شکل استاندارد y = ax² + bx + c مقادیر a = 2، b = -8، c = 3 را مشخص کنید.
طول (مختصه x) رأس را پیدا کنید: x = -b / (2a) = -(-8) / (2·2) = 8/4 = 2.
برای یافتن y، مقدار x = 2 را دوباره در تابع اصلی جایگذاری کنید: y = 2(2)² - 8(2) + 3 = 8 - 16 + 3 = -5.
چون a = 2 مثبت است، سهمی رو به بالا باز می‌شود، پس رأس یک نقطه کمینه است.

پاسخ: رأس در (2, -5) است، که یک نقطه کمینه است، چون a = 2 > 0.

دریافت کمک برای Graphing Quadratic Functions

AI Solve Quiz فرمول رأس بالا را روی یک تابع درجه دوم عکس‌گرفته‌شده اعمال می‌کند و توضیح می‌دهد که چرا سهمی به آن سو باز می‌شود، به‌جای آنکه فقط زوج مختصات را برگرداند.

افزودن به Chrome — رایگان است ببینید چطور کار می‌کند

سؤالات متداول

چرا فرمول شکل رأسی h را کم می‌کند به‌جای آنکه اضافه کند؟ ▼

رابطه y = a(x - h)² + k چنان ساخته شده که جمله مجذور دقیقاً وقتی x = h باشد صفر می‌شود — همان نقطه صفر است که (h, k) را به رأس تبدیل می‌کند. اگر فرمول از (x + h) استفاده می‌کرد، طول رأس در واقع -h می‌شد، پس همیشه علامت پیش از x را با دقت بخوانید.

آیا برای رسم سهمی در تکلیف باید تک‌تک نقاط را رسم کنم؟ ▼

معمولاً نه — بیشتر تکالیف فقط رأس، محور تقارن و جهت بازشدگی را می‌خواهند، و شاید عرض از مبدأ (که با قرار دادن x = 0 به دست می‌آید). همین چهار ویژگی برای رسم یک سهمی دقیق بدون جدول کامل مقادیر کافی است.

مبیّن پیش از آنکه اصلاً ریشه‌ها را حساب کنم چه چیزی به من می‌گوید؟ ▼

مبیّن b² - 4ac (همان بخش زیر رادیکال در فرمول درجه دوم) بدون حل بیشتر به شما می‌گوید چند نقطه تقاطع حقیقی با محور x وجود دارد: مثبت یعنی دو ریشه حقیقی متمایز، صفر یعنی دقیقاً یک ریشه مکرر (رأس با محور x مماس می‌شود)، و منفی یعنی هیچ ریشه حقیقی وجود ندارد — سهمی هرگز از محور x عبور نمی‌کند.

رأس چه نسبتی با نقاط تقاطع محور x دارد؟ ▼

طول (مختصه x) رأس همیشه دقیقاً در وسط دو نقطه تقاطع با محور x قرار می‌گیرد، چون سهمی نسبت به محور تقارنش متقارن است. اگر یک مسئله تکلیف هر دو نقطه تقاطع با محور x را بدهد، میانگین گرفتن از آن‌ها میان‌بُری سریع برای یافتن طول رأس است، بدون آنکه اصلاً به فرمول -b/(2a) نیاز باشد.

درس‌های مرتبط

Linear Equations معادله خطی هر معادله‌ای است که در آن متغیر فقط با توان اول ظاهر می‌شود — بدون توان دوم، بدون رادیکال، و بدون متغیری که به‌تنهایی در مخرج قرار گرفته باشد. تکالیف کتاب درسی معمولاً کسرها، پرانتزها و متغیرهای دو طرف را با هم ترکیب می‌کنند، و همین‌جاست که بیشتر اشتباهات رخ می‌دهد، هرچند روش زیربنایی هرگز تغییر نمی‌کند. Equation of a Circle معادله دایره همه نقاطی را توصیف می‌کند که فاصله‌ای برابر (شعاع) از یک نقطه ثابت (مرکز) دارند. بیشتر مسائل کتاب درسی یا مرکز و شعاع را می‌دهند و معادله را می‌خواهند، یا معادله را می‌دهند و می‌خواهند مرکز، شعاع، یا اینکه آیا نقطه‌ای روی دایره قرار دارد را مشخص کنید. Angle Relationships in Parallel Lines وقتی یک خط راست (مورّب یا قاطع) دو خط موازی را قطع می‌کند، در مجموع هشت زاویه پدید می‌آید، و تکالیف هندسه معمولاً از دانش‌آموز می‌خواهند جفت‌های خاصی را در میان آن‌ها نام‌گذاری و شمارش کند — منبعی همیشگی برای سردرگمی، چون نام چند جفت زاویه شبیه هم به نظر می‌رسد. Verb Tense Exercises تمرین‌های جای‌خالی زمان فعل، جمله‌ای با یک فعل داخل پرانتز می‌دهند و از دانش‌آموز می‌خواهند شکل درست آن را بنویسد — انتخاب درست تقریباً همیشه از یک سرنخ زمانی در جای دیگر همان جمله می‌آید، نه از حفظ کردن فعل به‌صورت مجزا.

این صفحه یک الگوی رایج تکلیف را برای اهداف مطالعاتی توضیح می‌دهد. همیشه از سیاست صداقت علمی مدرسه خود پیروی کنید.