مساعدة في واجبات رسم الدوال التربيعية

تُرسم الدالة التربيعية y = ax² + bx + c على شكل قطع مكافئ، ومعظم أسئلة الواجبات تطلب خصائص محدّدة لهذا المنحنى — رأسه أو محور تماثله أو اتجاه فتحته — بدلًا من رسمٍ كامل نقطةً بنقطة.

المواضيع الشائعة

اتجاه الفتحة

إذا كان المعامل a (أمام x²) موجبًا، فإن القطع المكافئ يفتح إلى الأعلى وله نقطة صغرى؛ وإذا كان a سالبًا، فإنه يفتح إلى الأسفل وله نقطة عظمى.

صيغة الرأس

كتابة الدالة على الصورة y = a(x - h)² + k تضع الرأس مباشرة عند النقطة (h, k) — وانتبه مجددًا إلى انقلاب إشارة h، تمامًا كما في مركز معادلة الدائرة.

محور التماثل

المستقيم الرأسي x = h يمرّ عبر الرأس، ويكون القطع المكافئ صورةً مرآتية لنفسه حول هذا المستقيم — وهو أمر مفيد لإيجاد نقطة ثانية بمجرد معرفة نقطة واحدة.

إيجاد الرأس من الصيغة القياسية

عندما تُعطى الدالة على الصورة y = ax² + bx + c، يكون الإحداثي السيني للرأس هو ‎-b / (2a)؛ ثم عوّض بتلك القيمة في الدالة للحصول على الإحداثي الصادي.

إيجاد نقاط تقاطع محور السينات (الجذور)

نقاط تقاطع محور السينات هي النقاط التي عندها y = 0، وتُوجد إمّا بالتحليل أو بالقانون العام x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a). ويقطع القطع المكافئ محور السينات عند هذه النقاط، أو يلامسه مرة واحدة إن كان هناك جذر واحد بالضبط، أو لا يقطعه أبدًا إذا كان المميّز b² - 4ac سالبًا.

مثال محلول

للدالة y = 2x² - 8x + 3، أوجد الرأس وبيّن ما إذا كان نقطة صغرى أم عظمى.

حدّد a = 2 وb = -8 وc = 3 من الصيغة القياسية y = ax² + bx + c.
أوجد الإحداثي السيني للرأس: x = -b / (2a) = -(-8) / (2·2) = 8/4 = 2.
عوّض بـ x = 2 في الدالة الأصلية لإيجاد y: y = 2(2)² - 8(2) + 3 = 8 - 16 + 3 = -5.
بما أن a = 2 موجب، فإن القطع المكافئ يفتح إلى الأعلى، وبالتالي فالرأس نقطة صغرى.

الإجابة: الرأس عند (2, -5)، وهو نقطة صغرى، لأن a = 2 > 0.

احصل على مساعدة في Graphing Quadratic Functions

يطبّق AI Solve Quiz صيغة الرأس أعلاه على دالة تربيعية مصوَّرة ويشرح سبب فتح القطع المكافئ في اتجاهٍ بعينه، بدلًا من إعادة زوج الإحداثيات فقط.

أضف إلى Chrome — مجاناً اكتشف كيف يعمل

الأسئلة الشائعة

لماذا تطرح صيغة الرأس h بدلًا من جمعها؟ ▼

الصيغة y = a(x - h)² + k مبنية بحيث يساوي الحدّ التربيعي صفرًا تمامًا عندما x = h — ونقطة الصفر هذه هي ما يجعل (h, k) رأسًا. ولو استخدمت الصيغة (x + h)، لكان الإحداثي السيني للرأس هو ‎-h في الواقع، لذا اقرأ دائمًا الإشارة أمام x بعناية.

هل يجب أن أرسم كل نقطة لرسم قطع مكافئ في الواجب؟ ▼

غالبًا لا — فمعظم الواجبات تطلب الرأس ومحور التماثل واتجاه الفتحة فقط، وربما نقطة تقاطع محور الصادات (تُوجد بوضع x = 0). وهذه الخصائص الأربع كافية لرسم قطع مكافئ دقيق دون جدول قيم كامل.

ماذا يخبرني المميّز قبل أن أحلّ لإيجاد الجذور أصلًا؟ ▼

المميّز b² - 4ac (الجزء الواقع تحت الجذر التربيعي في القانون العام) يخبرك بعدد نقاط تقاطع محور السينات الحقيقية دون متابعة الحل: فالموجب يعني جذرَين حقيقيَّين مختلفَين، والصفر يعني جذرًا مكرّرًا واحدًا بالضبط (الرأس يلامس محور السينات)، والسالب يعني عدم وجود جذور حقيقية — أي أن القطع المكافئ لا يقطع محور السينات أبدًا.

ما علاقة الرأس بنقاط تقاطع محور السينات؟ ▼

يقع الإحداثي السيني للرأس دائمًا في منتصف المسافة تمامًا بين نقطتَي تقاطع محور السينات، لأن القطع المكافئ متماثل حول محور تماثله. فإذا أعطت مسألة الواجب نقطتَي تقاطع محور السينات، فإن حساب متوسّطهما اختصار سريع للإحداثي السيني للرأس، دون الحاجة إلى صيغة ‎-b/(2a) أصلًا.

تشرح هذه الصفحة نمطًا شائعًا من الواجبات لأغراض الدراسة. التزم دائمًا بسياسة النزاهة الأكاديمية في مدرستك.