مساعدة في واجبات معادلة الدائرة

تصف معادلة الدائرة كل نقطة تقع على مسافة متساوية (نصف القطر) من نقطة ثابتة واحدة (المركز). ومعظم مسائل الكتب المدرسية إمّا تعطي المركز ونصف القطر وتطلب المعادلة، أو تعطي المعادلة وتطلب تحديد المركز أو نصف القطر أو ما إذا كانت نقطة ما تقع على الدائرة.

المواضيع الشائعة

الصيغة القياسية

الدائرة التي مركزها (h, k) ونصف قطرها r معادلتها (x - h)² + (y - k)² = r². وعندما يكون المركز نقطة الأصل (0, 0)، تُبسَّط إلى x² + y² = r².

قراءة المركز ونصف القطر مباشرة

إذا كانت المعادلة مكتوبة أصلًا بالصيغة القياسية، فالمركز هو (h, k) — انتبه إلى انقلاب الإشارة، لأن الصيغة تطرح h وk — ونصف القطر هو الجذر التربيعي للعدد في الطرف الأيمن.

إكمال المربّع

إذا أُعطيت المعادلة بالصيغة المفكوكة (x² + y² + Dx + Ey + F = 0)، فاجمع حدود x معًا وحدود y معًا، وأكمل المربّع لكلٍّ منهما لإعادتها إلى الصيغة القياسية.

اختبار وقوع نقطة على الدائرة

عوّض بإحداثيَّي النقطة في المعادلة — إذا تساوى الطرفان فالنقطة تقع تمامًا على الدائرة؛ وإذا كان الطرف الأيسر أصغر من r² فالنقطة داخلها؛ وإذا كان أكبر فالنقطة خارجها.

المماسّات ونصف القطر

المستقيم المماسّ للدائرة يلامسها في نقطة واحدة فقط، وعند تلك النقطة يكون المماسّ عموديًا دائمًا على نصف القطر المرسوم إليها — وهذا التعامد هو الحقيقة الأساسية المستخدمة لإيجاد معادلة المماسّ.

مثال محلول

أوجد معادلة دائرة مركزها (0, 0) وتمرّ بالنقطة (3, 4).

نصف القطر هو المسافة من المركز إلى النقطة المعطاة الواقعة على الدائرة.
بما أن المركز هو نقطة الأصل، استخدم قانون المسافة: r = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5.
عوّض بالمركز (0, 0) ونصف القطر 5 في الصيغة القياسية (x - h)² + (y - k)² = r².
ينتج عن ذلك x² + y² = 25.

الإجابة: x² + y² = 25 (المركز عند نقطة الأصل، ونصف القطر 5).

احصل على مساعدة في Equation of a Circle

يشرح AI Solve Quiz العملية نفسها لتحديد المركز ونصف القطر وإكمال المربّع الموضّحة أعلاه لمسألة معادلة دائرة مصوَّرة، ويعرض كل سطر وسيط بدلًا من القفز مباشرة إلى المعادلة النهائية.

أضف إلى Chrome — مجاناً اكتشف كيف يعمل

الأسئلة الشائعة

لماذا يُكتب المركز بإشارة سالبة في الصيغة؟ ▼

الصيغة (x - h)² + (y - k)² = r² مشتقّة مباشرة من قانون المسافة بين نقطة (x, y) والمركز (h, k). لذلك إذا أظهرت المعادلة (x - 3)²، فإن الإحداثي السيني للمركز هو 3+ وليس 3- — فالمعادلة تطرح إحداثي المركز.

كيف أعرف أن المعادلة تمثّل دائرة أصلًا؟ ▼

بعد إكمال المربّع، يجب أن يكون الطرف الأيمن عددًا موجبًا حتى تمثّل المعادلة دائرة حقيقية. وإذا ساوى صفرًا فإن "الدائرة" ليست في الواقع سوى نقطة واحدة؛ وإذا كان سالبًا فلا وجود لدائرة حقيقية.

هل العدد في الطرف الأيمن من المعادلة هو نصف القطر؟ ▼

لا — إنه مربّع نصف القطر. ومن الأخطاء الشائعة جدًا قراءة (x - h)² + (y - k)² = 25 وكتابة نصف القطر 25 بدلًا من أخذ الجذر التربيعي للحصول على 5. خُذ دائمًا الجذر التربيعي لذلك العدد النهائي قبل ذكر نصف القطر.

ما العلاقة بين معادلة الدائرة وقانون المسافة؟ ▼

معادلة الدائرة هي قانون المسافة نفسه، بترتيبٍ مختلف فقط. فالمسافة بين أي نقطة (x, y) والمركز (h, k) هي √((x-h)² + (y-k)²). وبجعل تلك المسافة مساوية لنصف قطر ثابت r وتربيع الطرفين لإزالة الجذر التربيعي نحصل تمامًا على (x - h)² + (y - k)² = r² — فكل نقطة تحقّق هذه المعادلة تبعد بالتعريف r وحدة بالضبط عن المركز.

تشرح هذه الصفحة نمطًا شائعًا من الواجبات لأغراض الدراسة. التزم دائمًا بسياسة النزاهة الأكاديمية في مدرستك.