Hausaufgabenhilfe: Kreisgleichung

Die Kreisgleichung beschreibt alle Punkte, die denselben Abstand (den Radius) von einem festen Punkt (dem Mittelpunkt) haben. Die meisten Schulbuchaufgaben geben entweder Mittelpunkt und Radius vor und fragen nach der Gleichung, oder sie geben die Gleichung vor und fragen nach Mittelpunkt, Radius oder danach, ob ein Punkt auf dem Kreis liegt.

Häufige Themen

Normalform

Ein Kreis mit Mittelpunkt (h, k) und Radius r hat die Gleichung (x - h)² + (y - k)² = r². Liegt der Mittelpunkt im Ursprung (0, 0), vereinfacht sich das zu x² + y² = r².

Mittelpunkt und Radius ablesen

Steht eine Gleichung bereits in Normalform, ist der Mittelpunkt (h, k) — beachte den VORZEICHENWECHSEL, da die Formel h und k subtrahiert — und der Radius ist die Quadratwurzel der Zahl auf der rechten Seite.

Quadratische Ergänzung

Ist die Gleichung in ausmultiplizierter Form gegeben (x² + y² + Dx + Ey + F = 0), gruppiere die x-Terme und die y-Terme getrennt und ergänze bei beiden quadratisch, um sie zurück in die Normalform zu bringen.

Prüfen, ob ein Punkt auf dem Kreis liegt

Setze die Koordinaten des Punktes in die Gleichung ein — sind beide Seiten gleich, liegt der Punkt genau auf dem Kreis; ist die linke Seite kleiner als r², liegt er innerhalb; ist sie größer, liegt er außerhalb.

Tangenten und der Radius

Eine Tangente berührt den Kreis in genau einem Punkt, und in diesem Punkt steht die Tangente immer senkrecht auf dem dorthin gezeichneten Radius — diese Orthogonalität ist die entscheidende Tatsache zur Bestimmung der Tangentengleichung.

Ausgearbeitetes Beispiel

Bestimme die Gleichung eines Kreises mit Mittelpunkt (0, 0), der durch den Punkt (3, 4) verläuft.

Der Radius ist der Abstand vom Mittelpunkt zum gegebenen Punkt auf dem Kreis.
Da der Mittelpunkt der Ursprung ist, verwende die Abstandsformel: r = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5.
Setze den Mittelpunkt (0, 0) und den Radius 5 in die Normalform (x - h)² + (y - k)² = r² ein.
Das ergibt x² + y² = 25.

Antwort: x² + y² = 25 (Mittelpunkt im Ursprung, Radius 5).

Hilfe zu Equation of a Circle erhalten

AI Solve Quiz führt bei einer fotografierten Kreisgleichungs-Aufgabe durch dieselbe Bestimmung von Mittelpunkt und Radius sowie die quadratische Ergänzung wie oben und zeigt jede Zwischenzeile, statt direkt zur Endgleichung zu springen.

Zu Chrome hinzufügen – kostenlos So funktioniert es

Häufig gestellte Fragen

Warum steht der Mittelpunkt in der Formel mit einem Minuszeichen? ▼

Die Formel (x - h)² + (y - k)² = r² folgt direkt aus der Abstandsformel zwischen einem Punkt (x, y) und dem Mittelpunkt (h, k). Zeigt die Gleichung also (x - 3)², dann ist die x-Koordinate des Mittelpunkts +3, nicht -3 — die Gleichung subtrahiert die Mittelpunktskoordinate.

Woran erkenne ich, ob die Gleichung überhaupt einen Kreis beschreibt? ▼

Nach der quadratischen Ergänzung muss die rechte Seite eine positive Zahl sein, damit die Gleichung einen echten Kreis darstellt. Ist sie null, ist der "Kreis" in Wirklichkeit nur ein einzelner Punkt; ist sie negativ, existiert kein reeller Kreis.

Ist die Zahl auf der rechten Seite der Gleichung der Radius? ▼

Nein — sie ist das QUADRAT des Radius. Ein sehr häufiger Fehler ist, (x - h)² + (y - k)² = 25 zu lesen und den Radius als 25 anzugeben, statt die Quadratwurzel zu ziehen und auf 5 zu kommen. Ziehe immer die Wurzel aus dieser letzten Zahl, bevor du den Radius nennst.

In welchem Verhältnis stehen die Kreisgleichung und die Abstandsformel? ▼

Die Kreisgleichung IST die Abstandsformel, nur umgestellt. Der Abstand zwischen einem beliebigen Punkt (x, y) und dem Mittelpunkt (h, k) ist √((x-h)² + (y-k)²). Setzt man diesen Abstand gleich einem festen Radius r und quadriert beide Seiten, um die Wurzel zu entfernen, entsteht genau (x - h)² + (y - k)² = r² — jeder Punkt, der diese Gleichung erfüllt, ist per Definition genau r Einheiten vom Mittelpunkt entfernt.

Verwandte Fächer

Linear Equations Eine lineare Gleichung ist jede Gleichung, in der die Variable nur in der ersten Potenz vorkommt — keine Quadrate, keine Wurzeln, keine Variable allein in einem Nenner. Hausaufgaben aus dem Schulbuch mischen meist Brüche, Klammern und Variablen auf beiden Seiten, und genau dort schleichen sich die meisten Fehler ein, obwohl das zugrunde liegende Verfahren immer dasselbe bleibt. Angle Relationships in Parallel Lines Wenn eine Gerade (eine Transversale) zwei parallele Geraden schneidet, entstehen insgesamt acht Winkel, und Geometrie-Hausaufgaben verlangen meist, bestimmte Paare darunter zu benennen und zu zählen — eine häufige Quelle von Verwirrung, weil mehrere Winkelpaar-Bezeichnungen ähnlich klingen. Graphing Quadratic Functions Eine quadratische Funktion y = ax² + bx + c hat als Graph eine Parabel, und die meisten Hausaufgaben fragen nach bestimmten Eigenschaften dieser Kurve — ihrem Scheitelpunkt, ihrer Symmetrieachse oder ihrer Öffnungsrichtung — statt nach einer vollständigen punktweisen Zeichnung. Verb Tense Exercises Lückentextübungen zu Zeitformen geben einen Satz mit einem Verb in Klammern vor und verlangen die richtige Form — die richtige Wahl ergibt sich fast immer aus einem Zeit-Hinweis an anderer Stelle im Satz, nicht aus dem Auswendiglernen des Verbs für sich allein.

Diese Seite erklärt ein häufiges Hausaufgabenmuster zu Lernzwecken. Halte dich immer an die Regeln deiner Schule zur akademischen Redlichkeit.