Aiuto Compiti sull'Equazione della Circonferenza

L'equazione di una circonferenza descrive tutti i punti che si trovano alla stessa distanza (il raggio) da un punto fisso (il centro). La maggior parte dei problemi dei libri di testo o fornisce centro e raggio e chiede l'equazione, oppure fornisce l'equazione e chiede di individuare il centro, il raggio o se un punto appartiene alla circonferenza.

Argomenti comuni

Forma standard

Una circonferenza con centro (h, k) e raggio r ha equazione (x - h)² + (y - k)² = r². Quando il centro è l'origine (0, 0), questa si semplifica in x² + y² = r².

Leggere centro e raggio

Data un'equazione già in forma standard, il centro è (h, k) — attenzione al CAMBIO DI SEGNO, poiché la formula sottrae h e k — e il raggio è la radice quadrata del numero al secondo membro.

Completamento del quadrato

Se l'equazione è data in forma sviluppata (x² + y² + Dx + Ey + F = 0), raggruppa separatamente i termini in x e quelli in y e completa il quadrato su ciascun gruppo per riportarla alla forma standard.

Verificare se un punto appartiene alla circonferenza

Sostituisci le coordinate del punto nell'equazione — se i due membri sono uguali, il punto si trova esattamente sulla circonferenza; se il primo membro è minore di r², il punto è interno; se è maggiore, il punto è esterno.

Rette tangenti e raggio

Una retta tangente a una circonferenza la tocca in esattamente un punto, e in quel punto la tangente è sempre perpendicolare al raggio che vi arriva — questa perpendicolarità è il fatto chiave usato per trovare l'equazione di una tangente.

Esempio svolto

Trova l'equazione della circonferenza con centro (0, 0) che passa per il punto (3, 4).

Il raggio è la distanza dal centro al punto dato sulla circonferenza.
Poiché il centro è l'origine, usa la formula della distanza: r = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5.
Sostituisci il centro (0, 0) e il raggio 5 nella forma standard (x - h)² + (y - k)² = r².
Si ottiene x² + y² = 25.

Risposta: x² + y² = 25 (centro nell'origine, raggio 5).

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AI Solve Quiz ripercorre lo stesso processo di individuazione di centro e raggio e di completamento del quadrato mostrato sopra per un problema fotografato sull'equazione della circonferenza, mostrando ogni passaggio intermedio invece di saltare direttamente all'equazione finale.

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Domande frequenti

Perché nella formula il centro è scritto con il segno meno? ▼

La formula (x - h)² + (y - k)² = r² deriva direttamente dalla formula della distanza tra un punto (x, y) e il centro (h, k). Quindi se l'equazione mostra (x - 3)², l'ascissa del centro è +3, non -3 — l'equazione sottrae la coordinata del centro.

Come faccio a sapere se l'equazione rappresenta davvero una circonferenza? ▼

Dopo il completamento del quadrato, il secondo membro deve essere un numero positivo perché l'equazione rappresenti una circonferenza reale. Se è uguale a zero, la "circonferenza" si riduce in realtà a un solo punto; se è negativo, non esiste alcuna circonferenza reale.

Il numero al secondo membro dell'equazione è il raggio? ▼

No — è il raggio AL QUADRATO. Un errore molto comune è leggere (x - h)² + (y - k)² = 25 e scrivere che il raggio è 25 invece di estrarre la radice quadrata e ottenere 5. Estrai sempre la radice quadrata di quel numero finale prima di indicare il raggio.

Qual è la relazione tra l'equazione della circonferenza e la formula della distanza? ▼

L'equazione della circonferenza È la formula della distanza, solo riscritta. La distanza tra un punto qualsiasi (x, y) e il centro (h, k) è √((x-h)² + (y-k)²). Porre quella distanza uguale a un raggio fisso r ed elevare al quadrato entrambi i membri per eliminare la radice produce esattamente (x - h)² + (y - k)² = r² — ogni punto che soddisfa questa equazione dista, per definizione, esattamente r dal centro.

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